【三乗の展開公式】『3』だけ覚えろ【数学I】

こんにちは。まさぽんです。

今回は、新しいジャンルとして、高校、中学レベルの知識の復習を行った際に得られた新たな気づきについて発信していこうと思います。よろしくお願いします。

今回は、「正解、正しい知識」というよりも、勉強していて気づいた、発見した「気づき」についてを主にまとめてあります。ご注意ください。

参考程度にお願いします。

序論

記事の目的

今回の記事には大きく以下の目的があります。

これらを加味した結果、このブログ記事をいう形で知識を面白おかしくインプットできないかと思い記事の作成に至りました。

特に力を入れたいのは”３”の部分です。

ボク自身が高校時代、教科書のマネばかりをしていて勉強が面白く感じ取れなかったのです。

大学生になり、深い勉強をする過程で「考える」こと、「分析する」ことを大切に続けてきた結果、今まで見てきたものを違う目線から見ることで新しい気づきを得る機会が多くなったのです。

この瞬間、たまらなく気持ち良い。

この感覚を中学、高校生の皆様にも味わって欲しく、執筆を行おうと思った次第です。

この記事から得られること

結論として、この記事から得られることは大きく以下の２点です。

塾講師時代の経験を生かし、皆様の「考えるきっかけ」創りに少しでも寄与できたらなと思います。

執筆者について

ボク自身、高校時代は勉強は大の嫌い。

そんな中勉強の本質

「考えること」

「本質を探すこと」

の大切さを高三の頃の塾のチューターの方に教えていただき、

その結果、とある国公立の大学に進学することができました。

 

正直、もっと早い段階で本質を見抜く勉強ができていれば

「もっと愉しく勉強できたのにな」

と後悔の念が今でも残っています。

 

そんな後悔をする前に

「後悔の防波堤」

になりたい想いで今回の記事を執筆していこうと思います。

読んで欲しい人

この記事のターゲットは以下に設定してあります。

それでは、本題に入っていきましょう！！

本論

３乗の展開公式を、具体例から学ぶ

具体例１：$ (x+y)^3 $の展開

結果として、三乗の展開公式は以下の様にして与えられていました。

$(a+b)^3 =a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $

ここで疑問に思ったまさぽんくん。

その通り。そこで、上記の式を少し深掘りしてみましょう。

まず、指数の表記のお約束

$x^1$のことは$x$という様に指数を省略して書いて良い

この逆を用いて

$x$のことをあえて$x^1$と表現することにする

と、上記の式は以下の様に書くことができちゃうのです。

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b^1 + 3a^1b^2 + b^3$

さて、じっくりこの式を眺めてみます。ここでまさぽんくんがあることに気づきました。

その通り！

$3a^2b^1$→指数部分は$2+1 = 3$!

$3a^1b^2$→指数部分は$1+2 = 3$!

 

さあ”３”が多くなってきてつい興奮して盛り上がってきましたねぇ！！

サンバが踊りたくなる頃でしょう。まだ我慢してください。

 

こうみてみると、それぞれの項(式を作っている一つ一つのパーツ)の次数が全て３であることがわかります。

カンが鋭いですね。

 

$a^3$→$a$が３個で$b$が０個

$a^2b^1$→$a$が2個で$b$が1個

$a^1b^2$→$a$が1個で$b$が2個

$b^3$→$a$が0個で$b$が3個

 

『足して次数が3になる』組み合わせ４通りを全て網羅しているということがポイントです。

具体例２：$(x+y)^2$の展開式

実は、中学時代に必死になって書いて読んでテストして覚えた二乗の展開公式にもこの規則が当てはまります。

$(x+y)^2= x^2+2xy+y^2$
これを、先と同様に、「あえて」指数部分を補ってみると
$(x+y)^2= x^2+2x^1y^1+y^2$

先に推測したもの当てはまりそうにも思えます。

足して2になるものは３通りで、項の数も実際に３つです。

共通点、気づいたこと（推測）

二乗の展開公式、三乗の展開公式

この二つに共通することとして、

１：真ん中の項に係数がつく

２：$(a+b)^2=a^2+2a^1b^1+b^2$
指数の次数は全ての項で２。係数は２。

３：$(a+b)^3=a^3+3a^2b^1+3a^1b^2+b^3$
指数の次数は全ての項で３。係数は３。

がわかりました。２乗はすべて２。３乗はすべて３。ワクワクしてきます。

ですが、これは四乗、五乗、、、とそれ以降には当てはまりません。二乗、三乗の二つだけなのです。以下に注意点として載せておきます。

【要注意】あくまで推測の世界。一般化は「二項定理」で。

注意点としては、

あくまで「三乗の展開公式」「二乗の展開公式」にのみ共通する規則性であるということです。

 

４乗以降の展開では、この規則は通用しません。

例として4乗,5乗の展開を取り上げます。

$(x+y)^4 = x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4$

$(x+y)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5$

$x^2y^2$の項の係数は「６」となってしまい、全ての係数が４なのでは？という今回の推測からは外れてしまいます。

同様に、５乗の展開式においても、$x^3y^2$,$x^2y^3$の項も「10」が係数であり、二乗三乗の予想していた展開ルールが通用しません。

 

実はこれ以降については「二項定理」をうまく用いることで、一般化（抽象化）して全ての説明をつけることができます。二項定理についての記事もいずれは投稿しようと思います。

ですが今回は、直感的な理解で納得がいく、そして使用頻度の高い二乗、三乗の展開のみにフォーカスして説明してみました。専門的な意見と言うよりは、直感的な理解のしやすさに重きを置いているとことに留意をお願いします。

いずれは「二項定理」の本質を理解し、今回の様な小手先のテクニックに頼らない様に、がんばっていきましょう。ボクも頑張ります。

【おまけ】３はマジックナンバー！美しい！！

おまけというか雑談です。

実は、この『３』という数字。たまらなく『美しい』のです。

具体例１：三脚の美学

３本足が実は安定するんです。なぜかというと、３本の足で『面』が作られるから。

椅子や机が「ガタつく」経験ありません？？

それは４本足の内の３本の足でいくつもの面が作られてしまうから。

いずれは３本足の机や椅子が開発されて欲しいなと願うばかりです。

具体例２：適量の美学

プレゼンや自分の意見を話すとき、

「理由は３点あります」

よく聞きます

それは「適量」だから

２点だと、少し物足りなく感じ、

４点だと少し多く感じる。

なんとなくこんな感情湧きませんか？？

 

ポケモンも最初の三匹（ヒトカゲ、ゼニガメ、フシギダネ）って言いますよね。笑

ポケモンは類にも漏れず「3の美学」に基づいて構成されていたのです。（推測ですが...）

具体例３：オリンピックの表彰台

オリンピックのメダルも「金」「銀」「銅」と三つのメダルで構成されています。

人間って不思議と「３」を心地よく感じる生物なんだなあ、、

とふと物思いにふける瞬間です（笑）

結論〜正解ではなく、気付き〜

今回論じたテーマはあくまで「推測した気づき、予想」であり、正解ではありません

（この単元では、正解は「二項定理」です）

ですがボクにとって、勉強とは

「教科書の内容を鵜呑みにしてひたすら覚える」

ことではなく、

「持っている情報同士から

共通点や相違点を見つけ出す」

 

「それらを分析して、

新たな気づきを得ること」

であると思っています。

この様な試行錯誤を行い、「考える力」を養う機会を多く設けていけたら良いなと思っている次第です。

なかなか失敗、推測のミスを記事にしているコンテンツって少ないのではないのでしょうか？？

至らない点も多いですが、改善しながら良いものを提供できる様にしてきますのでご理解とご協力お願いします！！

ぜひ、改善点も多いと思いますので、ご意見、アドバイスがいただけるとこの上なく嬉しいです。よろしくお願いします🙇‍♂️

 

今回の記事はこれにて終わりです。最後までご覧いただきありがとうございました。

 

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